오일러의 공식 (2) 세계에서 가장 아름다운 공식

$e^{i\pi}+1=0$ $e$, $i$, $\pi$를 사용하고 거기에 1을 더하면 0이 되는 간결하고 아름다운 수식. 미분으로 증명하는 방법도 있지만 여기서는 이전 글에서 언급한 멱급수를 가지고서 증명을 해봅니다. $e^{ix}=\textrm{cos}x+i\textrm{sin}x$ 와 복소평면 앞선 글에서 매클로린 급수로 다음과 같은 식을 구할 수 있었습니다. $\textrm{sin}x=x-\frac{x^3}{3!}+\frac{x^5}{5!}-\frac{x^7}{7!}+{...}$ $\textrm{cos}x=1-\frac{x^2}{2!}+\frac{x^4}{4!}-\frac{x^6}{6!}+{...}$ $e^x=1+x+\frac{x^2}{2!}+\frac{x^3}{3!}+\frac{x^4}{4!}+{..

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• · 2022. 12. 15.
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오일러의 공식 (1) 멱급수, 매클로린 급수

오일러에 대해서 찾아보다가 멱급수를 연구하였다고 하기에 정리해보고자 합니다. 저 빨간 박스 안의 식이 어떻게 유도되는지 보겠습니다. 멱급수 $ax^2+bx+c$ 이 식은 많이 보던 다항식입니다. 이러한 다항식을 $a_{0}+a_{1}x+a_{2}x^2+a_{3}x^3+{...}$ 이와 같이 다항식을 일반화 한 급수를 멱급수(power series)라고 합니다. * 급수: 수열의 합 예를 들어, $1+2x+3x^2+4x^3+{...}$ 이 식은 멱급수입니다. 매클로린 급수 다음 함수를 생각해봅니다. $f(x)=a_{0}+a_{1}x+a_{2}x^2+a_{3}x^3+{...}$ 위 함수의 $x$에 0을 대입하면 $f(0)=a_{0}$ $f(x)$를 미분하면 $f'(x)=a_{1}+2a_{2}x+3a_{3}x..

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• · 2022. 12. 14.
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