오일러의 공식 (2) 세계에서 가장 아름다운 공식

$e^{i\pi}+1=0$

 

$e$, $i$, $\pi$를 사용하고 거기에 1을 더하면 0이 되는 간결하고 아름다운 수식.

 

미분으로 증명하는 방법도 있지만 여기서는 이전 글에서 언급한 멱급수를 가지고서 증명을 해봅니다.

 

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$e^{ix}=\textrm{cos}x+i\textrm{sin}x$ 와 복소평면

 

앞선 글에서 매클로린 급수로 다음과 같은 식을 구할 수 있었습니다.

 

$\textrm{sin}x=x-\frac{x^3}{3!}+\frac{x^5}{5!}-\frac{x^7}{7!}+{...}$

 

$\textrm{cos}x=1-\frac{x^2}{2!}+\frac{x^4}{4!}-\frac{x^6}{6!}+{...}$

 

$e^x=1+x+\frac{x^2}{2!}+\frac{x^3}{3!}+\frac{x^4}{4!}+{...}$

 

 

여기서

$e^{x}=1+x+\frac{x^2}{2!}+\frac{x^3}{3!}+\frac{x^4}{4!}+\frac{x^5}{5!}+\frac{x^6}{6!}+\frac{x^7}{7!}{...}$

 

$e^{x}=1+\frac{x^2}{2!}+\frac{x^4}{4!}+\frac{x^6}{6!}+{...}+x+\frac{x^3}{3!}+\frac{x^5}{5!}+\frac{x^7}{7!}+{...}$

 

이 식의 $x$에 $ix$를 대입을 하면

 

$e^{ix}=1+\frac{(ix)^2}{2!}+\frac{(ix)^4}{4!}+\frac{(ix)^6}{6!}+{...}+ix+\frac{(ix)^3}{3!}+\frac{(ix)^5}{5!}+\frac{(ix)^7}{7!}+{...}$

 

$i=i$

$i^2=-1$

$i^3=-i$

$i^4=1$

이므로

 

$e^{ix}=1+\frac{i^2x^2}{2!}+\frac{i^4x^4}{4!}+\frac{i^6x^6}{6!}+{...}+ix+\frac{i^3x^3}{3!}+\frac{i^5x^5}{5!}+\frac{i^7x^7}{7!}+{...}$

 

$e^{ix}=1+\frac{(-1)x^2}{2!}+\frac{(1)x^4}{4!}+\frac{(-1)x^6}{6!}+{...}+ix+\frac{(-i)x^3}{3!}+\frac{(i)x^5}{5!}+\frac{(-i)x^7}{7!}+{...}$

 

 

뒷부분은 $i$로 묶습니다.

$e^{ix}=1-\frac{x^2}{2!}+\frac{x^4}{4!}-\frac{x^6}{6!}+{...}+i(x-\frac{x^3}{3!}+\frac{x^5}{5!}-\frac{x^7}{7!}+{...})$

 

 

어디서 많이 본 듯한 두 식이 떠오릅니다.

앞부분은

$\textrm{cos}x=1-\frac{x^2}{2!}+\frac{x^4}{4!}-\frac{x^6}{6!}+{...}$

 

뒷부분은

$\textrm{sin}x=x-\frac{x^3}{3!}+\frac{x^5}{5!}-\frac{x^7}{7!}+{...}$

 

따라서 $e^{ix}$는

$e^{ix}=\textrm{cos}x+i\textrm{sin}x$

로 나타낼 수 있습니다.

 

이 식을 복소평면상의 그래프로 그려보면

 

$0\leq x\leq 2\pi$ 일 때

$f(x)=e^{ix}$

 

x = 0:0.1:2*pi
y = exp(1i*x)
real_y = real(y)
imag_y = imag(y)
plot(real_y, imag_y)
xlabel('Real')
ylabel('Imaginary')

 

 

 

$f(x)=\textrm{cos}x+i\textrm{sin}x$

 

x = 0:0.1:2*pi
y = cos(x)+1i*sin(x)
real_y = real(y)
imag_y = imag(y)
plot(real_y, imag_y)
xlabel('Real')
ylabel('Imaginary')

 

 

 

 

$e^{ix}$와 $\textrm{cos}x+i\textrm{sin}x$가 같음을 알 수가 있습니다.

 

 

위키백과

참고로 오일러는 이 공식이 지닌 '복소수를 복소평면 위의 하나의 점으로 볼 수 있었다'는 기하학적 의미를 몰랐고, 50년 뒤에서야 그 사실이 발견되었다고 합니다.

 

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세계에서 가장 아름다운 공식

 

$e^{ix}=\textrm{cos}x+i\textrm{sin}x$

위 식에 $x$에 $\pi$를 대입하면

$e^{i\pi}=\textrm{cos}\pi+i\textrm{sin}\pi$

 

$\textrm{cos}\pi=-1$

$\textrm{sin}\pi=0$

이므로

 

$e^{i\pi}=-1+i\cdot0$

즉

$e^{i\pi}+1=0$

 

오일러의 공식이 유도가 됩니다.