당신이 수학을 모르는 이유. (feat. 불완전성의 정리)
https://youtu.be/oippSXvxUlw?si=ufFEF1ofxwEk1k75
1.
수학은 완벽할 것이라고 보통 생각한다.
모든 게 증명되고, 모든 게 명확하고, 모든 게 논리적일 것이라고.
그게 수학의 매력이라고 생각함..
세상은 애매모호하지만 수학만큼은 칼같이 진리를 제시할 거라고.
(수능 수학 문제에는 정답이 있다!)
그런데 영상 중에서 인상 깊었던 것.
"항상 참이지만 증명할 수 없는 것들이 있다."
이 한 문장이 묘하게 오래 남는다.
2.
괴델이라는 사람이 힐베르트의 꿈을 산산조각 냈다는 게 흥미롭다.
힐베르트는 "우리는 반드시 알아야 하며 알게 될 것이다"라고 선언했다.
수학의 완전성을 믿었던 사람.
그런데 바로 다음날, 24살의 청년이 "아뇨, 불가능합니다"라고 답한 것.
자기 자신을 언급하는 명제를 만들어서 시스템 자체를 무너뜨렸다.
"이 명제는 증명할 수 없다"라는 문장 하나로.
만약 증명할 수 있다면 거짓이 되고,
증명할 수 없다면 참이 되는. 그 자기 언급의 올가미.
러셀의 이발사 역설이랑 같은 구조다.
스스로를 면도하지 않는 사람만 면도해주는 이발사는
자기 자신을 면도할 수 있는가.
결국 수학이라는 완벽한 체계조차
자기 자신의 완전성을 증명할 수 없다는 것.
이게 인간 사고의 근본적 한계인지,
아니면 언어와 논리 자체가 가진 구조적 결함인지는 모르겠다.
어쩌면 둘 다일 수도..;;
3.
우리는 늘 '답'이 있다고 믿고 산다.
문제가 주어지면 풀 수 있어야 하고,
질문이 있으면 대답할 수 있어야 하고.
그런데 수학조차도,
가장 엄밀하고 논리적인 영역조차도
답할 수 없는 영역이 있다니.
쌍둥이 소수가 무한히 존재하는지, 튜링 머신이 멈출지 안 멈을지.
어떤 것들은 영원히 알 수 없을지도 모른다는 것.
이게 불편함보다는 묘하게 안도감을 준다.
모든 걸 알아야 한다는 강박에서 조금은 자유로워지는 느낌.
알 수 없는 것들이 존재한다는 사실을 받아들이는 것.
그게 어쩌면 지적 성숙의 시작점이 아닐까.
+
튜링은 동성애자라는 이유로 화학적 거세를 당하고 자살.
괴델은 편집증으로 굶어 죽고.
천재들의 말로가 왜 이리 비극적인지.
불완전한 세상이
불완전한 수학을 증명한 사람들을 용납하지 못한 건 아닐까.